Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác

PHƯƠNG PHÁP

1.    Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:

a.    Hàm số y = sinx

  • Đồng biến trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z.
  • Nghịch biến trên khoảng ($\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{{3\pi }}{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z.

b.    Hàm số y = cosx

  • Đồng biến trên khoảng (-π + 2kπ, 2kπ) với k ∈ Z.
  • Nghịch biến trên khoảng (2kπ, π + 2kπ) với k ∈ Z.

c.    Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (-$\frac{\pi }{2}$ + kπ, $\frac{\pi }{2}$ + kπ) với k ∈ Z.

d.    Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ, π + kπ) với k ∈ Z.

2.    Với các hàm số lượng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa.

3.    Các phép biến đổi đồ thị cơ bản được tổng kết theo sơ đồ sau:

474

4.    Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ thị hàm số y = f(x):

a.    Đồ thị y = |f(x)| gồm:

  • Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
  • Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành.

b.    Đồ thị y = f(|x|) gồm:

  • Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).
  • Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.

c.    Để suy ra đồ thị y = |f(|x|)| chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể lựa chọn một trong hai lược đồ sau :

  • Từ y = f(x) suy ra y = |f(x)| = g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(|x|) = |f(|x|)|.
  • Từ y = f(x) suy ra y = f(|x|) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = |h(x)| = |f(|x|)|.

d.    Đồ thị hàm số y = |u(x)|.v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:

  • Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) ⇒ 0.
  • Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành.

e.    Đường cong |y| = f(x) gồm:

  • Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
  • Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đường cong còn lại.

VÍ DỤ VẬN DUNG

Thí Dụ 1.    Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng:

J1 =  (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$),

J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$),

J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$),

J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$).

Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Giải

a.    Hàm số f(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:

475

Ta có nhận xét: J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$) = (-150π – $\frac{{2\pi }}{3}$; -150π – $\frac{\pi }{4}$)

mà trong khoảng (-$\frac{{2\pi }}{3}$; -$\frac{\pi }{4}$) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó, hàm số f(x) = cosx cũng đồng biến trên khoảng J4.

Ta có bảng

476

b.    Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:

477

Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng:

478

Ta có nhận xét J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) = (8π – $\frac{\pi }{4}$; 8π + $\frac{\pi }{4}$)

mà trong khoảng (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) hàm số g(x) = tanx đồng biến. Do đó, hàm số g(x) = tanx cũng đồng biến trên khoảng J3 – Bảng tương tự như trên.

Chú ý:    Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến của các hàm số dựa trên bảng ghi nhớ như sau:

a.    Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:

Đ$_k$ = (-$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ) với k ∈ Z và J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) ⊂  Đ$_0$ = (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$) (ứng với k = 0)⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J2.

J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) ⊂  Đ$_4$ = (-$\frac{{15\pi }}{2}$, $\frac{{17\pi }}{2}$) (ứng với k = 4)⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

b.    Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đk = (-π + 2kπ, 2kπ) với k ∈ Z và J1 =  (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$) ⊂  Đ1 = (π, 2π) (ứng với k = 1)

⇒ hàm số y = cosx đồng biến trên J1.

J4 = (-$\frac{{452\pi }}{3}$; -$\frac{{601\pi }}{4}$) ⊂  Đ-75 = (-151π, -150π) (ứng với k = -75)⇒ hàm số y = cosx đồng biến trên J4.

c.    Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (-$\frac{\pi }{2}$ + kπ, $\frac{\pi }{2}$ + kπ) với k ∈ Z và J1 =  (π ; $\frac{{3\pi }}{2}$) ⊂  Đ2 = ($\frac{{3\pi }}{2}$, $\frac{{5\pi }}{2}$) (ứng với k = 2) ⇒ hàm số y = tanx đồng biến trên J1.

J2 = (-$\frac{\pi }{4}$; $\frac{\pi }{4}$) ⊂  Đ0 = (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$) (ứng với k = 0) ⇒ hàm số y = tanx đồng biến trên J2.

J3 = ($\frac{{31\pi }}{4}$; $\frac{{33\pi }}{4}$) ⊂  Đ8 = (-$\frac{{15\pi }}{2}$, $\frac{{17\pi }}{2}$) (ứng với k = 8) ⇒ hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

Thí Dụ 2.

a.  Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số y = cosx + 2, y = cos(x – $\frac{\pi }{4}$) và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

b.   Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Giải

a.    Ta lần lượt có: Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a).

479

Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Ox sang phải một đoạn $\frac{\pi }{4}$ ta được đồ thị hàm số y = cos(x – $\frac{\pi }{4}$), ta có hình vẽ b).

b.    Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn.

Thí dụ 3.    Xét hàm số y = f(x) = sinπx.

a.    Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x + m) = f(x) với mọi x.

b.    Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1 ; 1].

c.    Vẽ đồ thị hàm số đó.

Giải

a.    Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin (cụ thể sin(α + 2kπ) = sinα), khi đó với m là số chẵn (m = 2k, k ∈ Z) ta có ngay:

f(x + m) = sinπ(x + 2k) = sin(πx + 2kπ) = sinπx = f(x) với mọi x.

b.    Ta có bảng biến thiên như sau:

481

c. Đồ thị của hàm số y = sinπx được minh hoạ trong hình bên.

Thí dụ 4.    Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = $\frac{x}{3}$ với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng nhỏ hơn $\sqrt {10} $.

Giải

Từ hình vẽ, giả sử rằng:

482

  • Đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ cắt đồ thị hàm số  y = sinx tại A1 và A2 thì OA1 = OA2.
  • Đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ cắt hai đường thẳng y = 1 và y = -1  tại B1(3; 1) và B2(-3; -1) thì OB1 = OB2.

Khi đó, ta có ngay:

OA1 = OA2 < OB1 = $\sqrt {{3^2} + {1^2}} $ = $\sqrt {10} $, đpcm.

Chú ý: Chúng ta cũng có thể trình bày như sau:

Giao điểm A(x$_0$; y$_0$) của đường thẳng y = $\frac{x}{3}$ với đồ thị hàm số y = sinx có toạ độ thoả mãn: y$_0$ = sinx0 và y$_0$ = $\frac{{{x_0}}}{3}$ ⇒ x$_0$ = 3y$_0$ = 3sinx$_0$, từ đó, suy ra A(3sinx$_0$; sinx$_0$) và do đó: OA = $\sqrt {{{(3\sin {x_0})}^2} + {{(\sin {x_0})}^2}} $ = $\sqrt {10{{\sin }^2}{x_0}} $ = $\sqrt {10} $|sinx$_0$| < $\sqrt {10} $ bởi sinx$_0$ ≠ ± 1.