Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lượng giác $\left( {2\sin x – \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$ là:
A. $x = \frac{\pi }{6}$
B. $x = \frac{{5\pi }}{6}$
C. $x = \pi $
D. $x = \frac{\pi }{{12}}$

Giải

Ta có $\left( {2\sin x – \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {2\sin x – \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = \left( {1 – \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = – 1}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$ $$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.$
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $x = \frac{\pi }{6}.$