Phương trình lượng giác thường gặp lớp 11

  1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

– Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

– Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

  1. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

– Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

  1. Phương trình bậc nhất đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

– Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

– Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 3: Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x – \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

– Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

– Bước 1: Xét \(x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

– Bước 2: Xét \(x \ne \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0\).

– Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

  1. Phương trình đẳng cấp đối với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n – 1}}x\cos x + … + {a_{n – 1}}\sin x{\cos ^{n – 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.

– Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\).

– Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\).

– Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

  1. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với\(\sin x\)và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

– Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} – 1}}{2}\).

– Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

– Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

Ví dụ 1 (ĐH-2004B). Giải phương trình    \(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\tan^2x\)

  Giải

    Điều kiện \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi\) (để tan x có nghĩa)

\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)

\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}\)

\(5\sin x-2=3\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\)

\(5\sin^2x+5\sin x-2-2\sin x=3\sin^2x\)

\(2\sin^2x+3\sin x-2=0\)

\(\sin x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\sin x=-2\) (vô nghiệm)

\(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\)

\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\), đối chiếu với điều kiện, cả hai họ nghiệm đều thỏa mãn