Số nghiệm của phương trình lượng giác

Số nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ của phương trình $2\sin 3x\left( {1 – 4{{\sin }^2}x} \right) = 0$ là:
A. 40.
B. 34.
C. 41.
D. 46.

Giải

Ta có: $2\sin 3x.\left( {1 – 4{{\sin }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\1 – 4{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\2x = \pm \frac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi \end{array} \right.$ ($k,l \in \mathbb{Z}$)
Nhận xét: Họ nghiệm $x = \frac{{k\pi }}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$và $x = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi $, $l \in \mathbb{Z}$ không có nghiệm nào trùng nhau nên đếm số nghiệm thuộc $\left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ ứng với từng họ nghiệm, rồi lấy tổng sẽ được tổng số nghiệm của phương trình đề bài cho. Thật vậy:
$\frac{{k\pi }}{3} = \pm \frac{\pi }{6} + l\pi $$ \Leftrightarrow 2k – 6l = \pm 1$ : vô nghiệm với mọi $k$, $l \in \mathbb{Z}$
(Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác để thấy các nghiệm này không trùng nhau.)
Do đó:
+ Với $x = \frac{{k\pi }}{3}$. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le \frac{{k\pi }}{3} < \frac{{69\pi }}{{10}}$ $ \Leftrightarrow \frac{3}{{14}} \approx 0,2 \le k < \frac{{207}}{{10}} = 20,7$ ($k \in \mathbb{Z}$)
Suy ra: $k \in \left\{ {1;2;3;…;20} \right\}$. Có $20$ giá trị $k$ nên có $20$ nghiệm.
+ Với $x = \frac{\pi }{6} + l\pi $. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le \frac{\pi }{6} + l\pi < \frac{{69\pi }}{{10}}$
$ \Leftrightarrow – \frac{2}{{21}} \approx – 0,095 \le l < \frac{{101}}{{15}} \approx 6,7$, $l \in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l \in \left\{ {0;1;2;3;…;6} \right\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.
+ Với $x = – \frac{\pi }{6} + l\pi $. Vì $x \in \left[ {\frac{\pi }{{14}};\frac{{69\pi }}{{10}}} \right)$ nên $\frac{\pi }{{14}} \le – \frac{\pi }{6} + l\pi < \frac{{69\pi }}{{10}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{21}} \approx 0,238 \le l < \frac{{106}}{{15}} \approx 7,06$, $l \in \mathbb{Z}$. Suy ra: $l \in \left\{ {1;2;3;…;7} \right\}$. Có $7$ giá trị $l$ nên có $7$ nghiệm.
Vậy số nghiệm của phương trình là $20 + 7 + 7 = 34$.