Tập xác định của hàm số lượng giác

I. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG

Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

  • Phương pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: D = {x ∈ R | f(x) có nghĩa}.
  • Phương pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D = R \E.

Chú ý: Với các hàm số lượng giác chúng ta cần biết thêm:

1.    Hàm số y = sinx xác định trên R và |sinx| ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số lẻ nên nếu có

sinx = sinα ⇔ x = α + 2kπ hoặc x = π – α + 2kπ, k ∈ Z.

sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

sinx = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z;  sinx = -1 ⇔ x = -$\frac{\pi }{2}$ + 2kπ, k ∈ Z.

2.    Hàm số y = cosx xác định trên R và |cosx| ≤ 1 với mọi x.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2π và nó là hàm số chẵn nên nếu có:

cosx = cosα ⇔ x = α + 2kπ hoặc x = -α + 2kπ, k ∈ Z.

cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ.

cosx = 1 ⇔ x = 2kπ, k ∈ Z;  cosx = -1 ⇔ x = π + 2kπ, k ∈ Z.

3.    Hàm số y = tanx xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z}.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.

4.    Hàm số y = cotx xác định trên R \{kπ, k ∈ Z}.

Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì π nên nếu có: cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z.

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Thí dụ 1.    Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a.   y  = $\frac{{1 – \cos x}}{{\sin x}}$.

b.   y  =  $\frac{{1 – \sin x}}{{1 + \cos x}}$.

Giải

a.    Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b.    Điều kiện: 1 + cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + 2kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{π + 2kπ, k ∈ Z}.

Thí dụ 2.    Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a.   y = $\sqrt {3 – \sin x} $.

b.   y = $\frac{1}{{\sqrt {1 – \cos x} }}$.

Giải

a.    Điều kiện: 3 – sinx ⇒ 0.

Vì |sinx| ≤ 1 nên 3 – sinx ⇒ 2 với mọi x.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R .

b.    Điều kiện: 1 – cosx > 0 ⇔ cosx < 1 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ 2kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{2kπ, k ∈ Z}.

Thí dụ 3.    Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a.   y = tan(2x + $\frac{\pi }{3}$).

b.   y = cot(3x – $\frac{\pi }{4}$).

Giải

a.    Điều kiện: 2x + $\frac{\pi }{3}$ ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{2}$, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{$\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{2}$, k ∈ Z}.

b.    Điều kiện: 3x – $\frac{\pi }{4}$ ≠ kπ ⇔ x ≠ $\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{3}$, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{$\frac{\pi }{{12}}$ + k$\frac{\pi }{3}$, k ∈ Z}.