Tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác

Để tìm tập xác định có nghĩa hay tập giá trị của một hàm số lượng giác khi biến số của nó thay đổi là vấn đề quan trọng học sinh cần nắm rõ trong quá trình học cũng như muốn hiểu sâu về hàm lượng giác. Để học sinh có thể tìm tập xác định đơn giản cho mỗi hàm lượng giác, ta vào chi tiết bài viết.

Phương pháp
Hàm số $y = \sqrt {f(x)} $ có nghĩa ⇔f(x) ≥ 0 và f(x) tồn tại
Hàm số $y = \frac{1}{{f(x)}}$ có nghĩa ⇔f(x) ≠ 0 và f(x) tồn tại.
sinu(x) ≠ 0 ⇔u(x) ≡ kπ, k ∈ Z
cosu(x) ≠ 0 ⇔u(x) ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
– 1 ≤ sinx, cosx ≤ 1

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác sau: y = tan(x – π/6)

Lời giải

Điều kiện: $\cos (x – \frac{\pi }{6}) \ne 0 \Leftrightarrow x – \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k\pi $

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,{\rm{ }}k \in Z} \right\}$.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác sau: $y = \frac{{\tan 5x}}{{\sin 4x – \cos 3x}}$

Lời giải

Ta có: sin(4x) – cos(3x) = sin(4x) – sin(π/2 – 3x) = 2cos(0,5x + π/4)sin(3,5x – π/4)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} \cos 5x \ne 0\\ \cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0\\ \sin \left( {\frac{{7x}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5}\\ x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x \ne – \frac{\pi }{{14}} + \frac{{k2\pi }}{7} \end{array} \right.$
Vậy TXĐ: $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{10}} + \frac{{k\pi }}{5},\frac{\pi }{2} + n2\pi , – \frac{\pi }{{14}} + \frac{{2m\pi }}{7}} \right\}$.

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số sau y = tan(x – π/4).cot(x – π/3)

Lời giải

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x – \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x – \frac{\pi }{3} \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\ x \ne \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.$.

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\frac{\pi }{3} + k\pi ;{\rm{ }}k \in Z} \right\}$.