Tìm số nghiệm trên khoảng $( – \pi ;\pi )$ của phương trình lượng giác

Tìm số nghiệm trên khoảng $( – \pi ;\pi )$ của phương trình : $2(sinx + 1)(si{n^2}2x – 3sinx + 1) = sin4x.cosx$
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với
$2\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\frac{{1 – \cos 4x}}{2} – 3\sin x + 1} \right) = \sin 4x.\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {3 – 6\sin x – \cos 4x} \right) = \sin 4x.\cos x$
$ \Leftrightarrow \left( {{\rm{sinx}} + {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{3}} – {\rm{6sinx}}} \right) – {\rm{sinx}}.{\rm{cos4x}} – {\rm{cos4x}} = {\rm{sin4x}}.{\rm{cosx}}$
$ \Leftrightarrow 3(1 – 2si{n^2}x) – 3sinx = sin5x + cos4x$
$ \Leftrightarrow 3\cos 2x + 3\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {5x – \frac{\pi }{2}} \right) + \cos 4x$
$ \Leftrightarrow 3.2.cos(\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}) = 2.cos(\frac{{9x}}{2} – \frac{\pi }{4}).cos(\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4})$
$ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}} \right)\left[ {3\cos (\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) + \cos (\frac{{9x}}{2} + \frac{{3\pi }}{4})} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \cos (\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}).{\cos ^3}(\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos (\frac{x}{2} – \frac{\pi }{4}) = 0\\\cos (\frac{{3x}}{2} + \frac{\pi }{4}) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$.
Vì $x \in ( – \pi ;\pi )$ nên suy ra $x = – \frac{\pi }{2},x = \frac{\pi }{6},x = \frac{{3\pi }}{2}$.