Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = \frac{{2{{\sin }^2}3x + 4\sin 3x\cos 3x + 1}}{{\sin 6x + 4\cos 6x + 10}}$

Các phương án là

A. $\min y = \frac{{11 – 9\sqrt 7 }}{{83}};{\rm{ }}\max y = \frac{{11 + 9\sqrt 7 }}{{83}}$

B. $\min y = \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{11}};{\rm{ }}\max y = \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{11}}$

C. $\min y = \frac{{33 – 9\sqrt 7 }}{{83}};{\rm{ }}\max y = \frac{{33 + 9\sqrt 7 }}{{83}}$

D. $\min y = \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{83}};{\rm{ }}\max y = \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{83}}$

Lời giải:

Ta có: $\sin 6x + 4\cos 6x + 10 \ge 10 – \sqrt {17} > 0{\rm{ }}\forall x \in R$

$\begin{array}{l}
y = \frac{{2\sin 6x – \cos 6x + 2}}{{\sin 6x + 4\cos 6x + 10}}\\
\Leftrightarrow (y – 2)\sin 6x + (4y + 1)\cos 6x = 2 – 10y
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow {(y – 2)^2} + {(4y + 1)^2} \ge {(2 – 10y)^2}\\
\Leftrightarrow 83{y^2} – 44y – 1 \le 0
\end{array}$

$ \Leftrightarrow \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{83}} \le y \le \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{83}}$
Suy ra: $\min y = \frac{{22 – 9\sqrt 7 }}{{83}};{\rm{ }}\max y = \frac{{22 + 9\sqrt 7 }}{{83}}$ .