Tính chất của hàm số lượng giác và đồ thị hàm số lượng giác

Phương pháp
Cho hàm số lượng giác y = f(x) tuần hoàn với chu kì T

  • Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị lượng giác của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ \(k.\overrightarrow v \) (với \(\overrightarrow v = (T;0),{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\)) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
  • Số nghiệm của phương trình \(f(x) = k\), (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và \(y = k\).
  • Nghiệm của bất phương trình \(f(x) \ge 0\) là miền x mà đồ thị hàm số y = f(x) nằm trên trục \(Ox\).

Chú ý:

  • Hàm số \(f(x) = a\sin ux + b\cos vx + c\) ( với \(u,v \in \mathbb{Z}\)) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| {(u,v)} \right|}}\) ( \((u,v)\) là ước chung lớn nhất).
  • Hàm số \(f(x) = a.\tan ux + b.\cot vx + c\) (với \(u,v \in \mathbb{Z}\)) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{{\left| {(u,v)} \right|}}\).

Các ví dụ

Ví dụ 1.
Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số lượng giác: f(x) = cos(1,5x).cos(0,5x)

Lời giải

Ta có f(x) = 0,5(cosx + cos2x) => hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T$_0$ = 2π.

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số lượng giác sau: f(x) = sinx$^2$

Lời giải

Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn: \( \Rightarrow \exists T > 0:f(x + T) = f(x) \Leftrightarrow \sin {(x + T)^2} = \sin {x^2}{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow \sin {T^2} = 0 \Leftrightarrow {T^2} = k\pi \Rightarrow T = \sqrt {k\pi } \)
\( \Rightarrow f(x + \sqrt {k\pi } ) = f(x){\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
Cho \(x = \sqrt {2k\pi } \) ta có: \(f(\sqrt {2k\pi } ) = \sin {\left( {\sqrt {k2\pi } } \right)^2} = \sin (k2\pi ) = 0\).
\(f(x + \sqrt {k\pi } ) = \sin {\left( {\sqrt {k2\pi } + \sqrt {k\pi } } \right)^2} = \sin \left( {3k\pi + 2k\pi \sqrt 2 } \right) = \pm \sin (2k\pi \sqrt 2 )\)
$ \Rightarrow f(x + \sqrt {k\pi } ) \ne 0$.
Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.

Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số lượng giác f(x) = asin(cx) + bcos(dx) là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi c/d là số hữu tỉ.

Lời giải

Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn \( \Rightarrow \exists T > 0:{\rm{ }}f(x + T) = f(x){\rm{ }}\forall x\)
Cho \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dT = 2n\pi \\cT = m\pi \end{array} \right. \Rightarrow \frac{c}{d} = \frac{m}{{2n}} \in \mathbb{Q}\).

  • Giả sử \(\frac{c}{d} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \exists k,l \in \mathbb{Z}:{\rm{ }}\frac{c}{d} = \frac{k}{l}\). Đặt \(T = \frac{{2\pi k}}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}\)
  • Ta có: \(f(x + T) = f(x){\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi k}}{c} = \frac{{2l\pi }}{d}$.

Ví dụ 4. Cho hàm số \\({T_1},{T_2}\)( \Rightarrow f(x)\)và \(y = g(x)\) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là . Chứng minh rằng nếu \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\) là số hữu tỉ thì các hàm số \(f(x) \pm g(x);{\rm{ }}f(x).g(x)\) là những hàm số tuần hoàn.

Lời giải

Vì \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}}\) là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên \(m,n;n \ne 0\) sao cho \(\frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \frac{m}{n} \Rightarrow n{T_1} = m{T_2} = T\)
Khi đó \(f(x + T) = f(x + n{T_1}) = f(x)\) và \(g(x + T) = g(x + m{T_2}) = g(x)\)
Suy ra \(f(x + T) \pm g(x + T) = f(x) \pm g(x)\) và \(f(x + T).g(x + T) = f(x).g(x)\), \(\frac{{f(x + T)}}{{g(x + T)}} = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\). Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét:
1. Hàm số \(f(x) = a\sin ux + b\cos vx + c\) ( với \(u,v \in \mathbb{Z}\)) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{(u,v)}}\) ( \((u,v)\) là ước chung lớn nhất).
2. Hàm số \(f(x) = a.\tan ux + b.\cot vx + c\) (với \(u,v \in \mathbb{Z}\)) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{\pi }{{(u,v)}}\).