Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

I. Phương pháp thực hiện

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1:    Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

  • Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D), ta thực hiện tiếp bước 2.
  • Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là ∃x ∈ D mà -x ∉ D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2:    Xác định f(-x) , khi đó:

  • Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
  • Nếu f(-x) = -f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
  • Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Chú ý:  Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có:

  1. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
  2. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn
  3. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
  4. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Thí dụ 1.    Xét tính chất chẵn – lẻ của các hàm số sau:

a.   y = sinx – cosx.

b.   y = sinx.cos$^2$x + tanx.

Giải

a.    Hàm số xác định trên R là tập đối xứng.

Ta có: f(-x) = sin(-x) – cos(-x) = -sinx – cosx ≠ ± f(x).

Vậy, hàm số y = sinx – cosx không lẻ, không chẵn.

b.    Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.

Ta có: f(-x) = sin(-x).cos$^2$(-x) + tan(-x) = -sinx.cos$^2$x – tanx = -(sinx.cos2x + tanx) = -f(x).

Vậy, hàm số y = sinx.cos$^2$x + tanx là hàm số lẻ.

Thí dụ 2.    Xét tính chất chẵn – lẻ của các hàm số sau:

a.   y = cos (x – $\frac{\pi }{4}$).

b.   y = tan$\left| x \right|$.

c.   y = tanx – sin2x.

Giải

a.    Hàm số xác định trên R là tập đối xứng.

Ta có: f(-x) = cos (-x – $\frac{\pi }{4}$) = cos (x + $\frac{\pi }{4}$) ≠ ± f(x).

Vậy, hàm số cos (x – $\frac{\pi }{4}$) không lẻ, không chẵn.

b.    Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.

Ta có: f(-x) = tan|-x| = tan|x| = f(x).

Vậy, hàm số y = tan|x| là hàm số chẵn.

c.    Hàm số xác định trên R \{$\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z} là tập đối xứng.

Ta có: f(-x) = tan(-x) – sin(-2x) = -tanx + sin2x = -(tanx – sin2x) = -f(x).

Vậy, hàm số y = tanx – sin2x là hàm số lẻ.