Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác

I. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN

1.    Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1:

Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực dương T$_0$ sao cho:

Với mọi x ∈ D, ta có: x – T$_0$ ∈ D và x + T$_0$ ∈ D                (1)

f(x + T$_0$) = f(x)                        (2)

Bước 2:    Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn.

2.    Chứng minh rằng T$_0$ là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T$_0$ là số nhỏ nhất (1), (2), ta thực hiện phép  chứng minh bằng phản chứng theo các bước:

  • Bước 1:    Giả sử có số T sao cho 0 < T <  T$_0$ thoả mãn tính chất (2): x∈D, f(x + T) = f(x) ⇔ …⇒ mâu thuẫn với giả thiết  0 < T < T$_0$.
  • Bước 2:    Mâu thuẫn này chứng tỏ T$_0$ là số dương nhỏ nhất thoả mãn (2).
  • Bước 3:    Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T$_0$.

3.    Xét tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác, chúng ta sử dụng các kết quả:

  • a.    Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2π.

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì $\frac{{2\pi }}{a}$.

  • b.    Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì π.

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a ≠ 0 tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{a}$.

  • c.    Cùng với kết quả của định lý:

Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần lượt là a và b với $\frac{a}{b}$ ∈ \(\mathbb{Q}\). Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x),  G(x) =  f(x).g(x) cũng tuần hoàn trên M.

Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung nhỏ nhất của a, b.

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Thí dụ 1.    Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì π:

a.   y = -sin$^2$x.

b.   y = 3tan$^2$x + 1.

Giải

Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì π, ta đi chứng minh: f(x + kπ) = f(x) với k ∈ Z , x thuộc tập xác định của hàm số.

a.    Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos(α + 2kπ) = cosα), ta có ngay: f(x + kπ) = -sin$^2$ (x + kπ) = -$\frac{1}{2}$[1 – cos(2x + 2kπ)] = -$\frac{1}{2}$(1 – cos2x) = -sin$^2$x = f(x) với mọi x.

b.    Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan(α + kπ) = tanα), ta có ngay:

f(x + kπ) = 3tan$^2$ (x + kπ) + 1 = 3tan$^2$x + 1 = f(x) với mọi x.

Thí dụ 2.    Cho hàm số y = f(x) = A.sin(ωx + α),  (A, ω  và α là các hằng số; A và ω  khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có: f(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) = f(x) với mọi x.

Giải

Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay: f(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) = A.sin[ω(x + k.$\frac{{2\pi }}{\omega }$) + α] = A.sin(ωx + 2kπ + α) = A.sin(ωx + α) =  f(x) với mọi x.

Thí dụ 3.    Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho dưới đây là hàm tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:

a.   f(x) = tan(3x – $\frac{\pi }{6}$).

b.   f(x) = 2cos2(2x + $\frac{\pi }{3}$).

Giải

a.    Hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{\pi }{3}$.

b.    Viết lại hàm số dưới dạng: f(x) = 2cos$^2$ (2x + $\frac{\pi }{3}$) = 1 + cos(4x + $\frac{{2\pi }}{3}$).

Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì $\frac{{2\pi }}{4}$ = $\frac{\pi }{2}$.

Chú ý:  Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đưa ra kết luận rằng “Hàm số tuần hoàn với chu kì  T = π”.